Kurt Gödel的不完整理論

Kurt Gödel(1906-1939)
20世紀偉大的數學與邏輯學家. 他提出了不完整理論,他的定理這樣說: 如果邏輯系統是簡單而無矛盾的那它就是不完整的,(Geschlossene logische Systeme sind entweder unvollständig oder in sich widersprüchlich). 完整的體系必然是不簡單,即互補與矛盾的.這個數學定理提示我們:人活在世界,互補與矛盾是必然的.人彼此間應該如何由矛盾提升到互補.面對矛盾應該坦然以對.

Kurt Gödel
出生在捷克的Brünn,有一年夏天我們到東歐,奧地利去旅行, 中間經過布拉格, Brünn,Bratislava,布達佩斯.那時斯洛華克還未獨立, Bratislava還不是首都.19xx年斯洛華克獨立了.人們感謝哈非總統的理性決定.我記得我們在Brünn,停了一段時刻,然後上高速公路.在高速公路上的一家餐廳午餐.記得那餐午餐是出奇的物美價廉.後來我們到奧地利找朋友

Gödel
到維也納念書.Gödel起初念物理,後念數學,好年輕便寫博士論文,像法國物理學家De Boglie一樣,他的學生論文成了人類的資產.

我們再談另一個偉大的數學家,他是康德的同鄉. David Herbert.1862年出生在Königsberg, Herbert 1943年過世.Königsberg這個小城,過去屬於東普魯士  ,今日屬於俄國. 康德, Herbert 是徳國人?還是俄國人? 隨你說! 1928年我們偉大的數學家 Herbert在義大利Bologna 的國際會議上提出了歷史上還未解決的四個數學問題,這四個問題是一串的,正如中世紀哲學家Thomas von Aquina的上帝五路証明, 証明一個,其他四個問題便迎刃而解.

年輕的Kurt Gödel在他的學生數學論文中証明一個,其他未解決的三個數學問題,後來他一口氣便全部都解決了. Kurt Gödel是個天才.他解決這 四個問題的最重要一個觀念,便是前面說的: 如果邏輯系統是簡單而無矛盾的那它就是不完整的.


我們在這裡不準備說明Kurt Gödel的證明.我們只是等下說明不完整理論的意義. Kurt Gödel提出不完整理論的證明後,打亂了原來Herbert的劃世紀計畫, 我們知道數學上有所謂的代數,幾何,微積分,集合論….等等,他們都是獨立的系統.都有自己的定義與定理.彼此都沒關聯. Herbert 計畫要建立一個形式系統,然後把代數,幾何,微積分,集合論等等系統,都沒有矛盾的,完整的,統一在他的形式系統裡. Herbert要一統江湖.

然而Kurt Gödel提出不完整理論的證明後,認為一個系統.如果是簡單而無矛盾的那它就是不完整的.所以Herbert要建立的沒有矛盾的,完整的系統是不可能的. Herbert是失败了.然而他的努力還是有意義的.我們現在來看看Herbert如何思考他的形式系統.

Herbert
的形式系統,首先是一些沒有定義的符號,與沒有內容的公式.然後再把有定義,有內容的代數,幾何,微積分,集合論….等等拿來重新定義沒有符號定義,沒有公式內容的形式系統.形式系統一開始定義後,便產生符號之間的矛盾,與公式間的矛盾.

現在我們離開Kurt Gödel的不完整理論,Herbert的形式系統.我們現在問:這麼一個完整的形式系統,存在著互補與矛盾,難道是完全沒有意義的嗎?我們難道不能在這統一的系統中.允許互補與矛盾存在,然後比較他們之間的互補與矛盾嗎?他們互補在那里?矛盾又再那裡?之間可以轉換嗎?

這便是我設計陰陽形式系統的用意. 首先設計一些沒有定義的符號,與沒有內容的公式.然後把每個哲學或宗教系統重新定義符號,與公式內容.這樣我們便可比較康德,老子,佛學之間的互補與矛盾.在正反的矛盾中,我們尋求辯証的出路.

互補與矛盾….(待續)

(06märz.03)


系統的互補與矛盾

互補
在物理學上,我們可以以波來描寫光波,也可以以粒子來描寫光子.光一方面具有波動性,另一方面具有粒子性.在波的系統中,我們以波長,頻率來描寫光波.在粒子的系統中,我們以時間空間質量速度能量來描寫光子.波與粒子是两個完全不一樣的系統.光具有二象性.它們之間沒有任何矛盾.他們之間是互補的關係.這關係有一常數,Planck常數h.  h=E/ν.其中E是粒子的能量, ν是波的頻率. 波與粒子是两個互補的系統.

矛盾
牛頓認為時間,空間,質量是絶對的.他的物理學三大定律,對宏觀世界的描寫,在古典物理學時代起著領導的地位.自從光速常數c=3x108msŻą被發現後,愛因斯坦提出了狹義相對論,証明時間,空間,質量是相對的.愛因斯坦提出了狹義相對論在宏觀世界與微觀都是有效的.牛頓的時間,空間,質量是絶對.因為在宏觀世界中,粒子的運動相對的慢,時間,空間,質量的改變沒被發現,所以說它是絶對.事實時間,空間,質量在宏觀世界與微觀都是相對的.牛頓的時間,空間,質量系統是絶對,愛因斯坦的時間,空間,質量系統是相對.他們的時間,空間,質量系統不是互補.他們是矛盾的.矛盾就不能两者皆為真.必有一真一假.現在牛頓的絶對時間,空間,質量系統被愛因斯坦相對的時間,空間,質量系統取代.
 

我們再舉個例子來說明系統的互補與矛盾.自然科學與宗教是两個不同的系統.自然科學用經驗與理智來處理現象的規律.宗教用信仰與了悟來處理本體的問題.自然科學與宗教各有各的範疇.两個系統本來是互補的.但當宗教不只處理本體彼岸的問題,也跟著自然科學搶著要處理地球是否是宇宙中心?地球是否在動的問題.這樣本來是互補的两個系統.就變成了互為矛盾的系統.矛盾就不能两者皆為真.必有一真一假.現在宗教的宇宙觀被自然科學取代.
(Mittwoch, 25. Februar 2004)